Intuitivamente, uma métrica é uma forma de medida entre dois elementos de um dado conjunto. Uma função que associa a cada par de elementos de um conjunto dado a um número real chamado de distância entre esses dois pontos. Mas não é qualquer função poderá ser uma métrica, basicamente queremos que essa função satisfaça algumas condições, primeiro é que a função assume somente valores não-negativos para quaisquer par de elementos do conjunto, e está assumirá o valor zero somente quando esses dois elementos se coincidirem. A segunda condição é que o valor assumido seja independente da ordem da medida, ou seja, dados dois elementos x e y no conjunto dado queremos que o valor independa se medimos de x para y ou se medimos de y para x, essa condição é chamada de simetria. E a terceira é que a função distância satisfaça a desigualdade triangular, a qual vem da nossa intuição no plano na qual a medida de um lado de um triângulo não supera a soma das medidas dos outros dois lados.
Espaço Métrico
Definição 1: Uma métrica é uma função $d:XxX\rightarrow R$, chamada distância, que satisfaz as seguintes condições:
i) $d(x,y)\geq0$ para quaisquer $x,y\in R$
ii) $d(x,y)=0$ se, e somente se, $x=y$
iii) $d(x,y)=d(y,x)$ para quaisquer $x,y\in R$
iv) (desigualdade triangular) $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ para quaisquer $x,y,z\in R$
Definição 2: Um espaço métrico é um par $(X,d)$ onde $X$ é um conjunto e $d$ é uma métrica.
Quando não tiver perigo em causar confusão diremos que $X$ é um espaço métrico sem explicitar a métrica em $X$, caso contrário diremos qual é a métrica.
Exemplos: Existem vários exemplos de espaços métricos, mas sem duvida o mais intuitivo é o espaço euclidiano $R^{2}$ com a distância $d:RxR\rightarrow R$, $d(x,y)=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}$ com $x=(x_1,y_1)$ e $y=(x_2,y_2)$, mais geralmente o espaço euclidiano $R^{n}$ com a métrica $d:R^{n}xR^{n}\rightarrow R$, $$d(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - y_i)^{2}}$$, com $x=(x_1,...,x_n)$ e $y=(y_1,...,y_n)$.
outras funções que satisfazem as condições de métrica é a da soma $d_{S}:R^{n}xR^{n}\rightarrow R$, $$d(x,y)=\sum_{i=1}^{n}|y_i-x_i|$$ e a do máximo $d_{máx}:R^{n}xR^{n}\rightarrow R$, $$d(x,y)=máx|y_i-x_i|, 1 \leq i \leq n$$. É sugerido representar essas métricas para $R^2$ no plano.
Teorema 1: Sejam $(X_1,d_1),(X_2,d_2),...,(X_n,d_n)$ espaços métricos e seja $$X=\Pi_{i=1}^{n}X_i$$ definimos a seguinte métrica para quaisquer $x=(x_1,...,x_n)$ e $y=(y_1,...,y_n)$ pertencentes à $X$, com $x_i,y_i\in X$: $$d:XxX\rightarrow R$$ tal que $d(x,y)=máximo\{d_i(x_i,y_i)\}$ com $1\leq i \leq n$. Então $(X,d)$ é um espaço métrico.
Demonstração: Para demonstrar o teorema devemos verificar as propriedades da definição 1.
i) É obvia, pois se $d(x,y)=máx\{d_i(x_i,y_i)\}$ e como $d_i(x_i,y_i)\geq 0$ para todo $1\leq i\leq n$ logo $d(x,y)\geq 0$.
ii) Se $d(x,y)=máx\{d_i(x_i,y_i)\}=0$ e como $d_i(x_i,y_i)\geq 0$ para todo $1\leq i\leq n$ então $d_i(x_i,y_i)=0$ para todo $1\leq i\leq n$ o que implica que $x_i=y_i$ por $d$ ser uma métrica e portanto $x=y$, lembrando que para duas n-uplas serem equivalentes estas tem que ter todas as suas respectivas coordenadas iguais. Reciprocamente se $x_i=y_i$ então $d(x_i,y_i)=0$ para todo $1\leq i\leq n$ o que implica que $d(x,y)=máx\{d_i(x_i,y_i)\}=0$.
iii) Como $d_i$ são métricas então $d_i(x_i,y_i)=d_i(y_i,x_i)$ então $d(x,y)=d(y,x)$
iv) E finalmente a desigualdade triangular. Sejam $k$ e $h$ dois inteiros pertencentes a $\{1,...,n\}$ com $d_i(x_i,z_i)\leq d_k(x_k,y_k)$ e $d_i(z_i,y_i)\leq d_h(x_h,y_h)$ para todo $1\leq i\leq n$. Temos que $$d_i(x_i,y_i)\leq d_i(x_i,z_i)+d_i(z_i,y_i)\leq d_k(x_k,y_k)+d_h(x_h,y_h)=d(x,z)+d(z,y)$$ para todo $1\leq i\leq n$ então $d(x,y)=máx\{d_i(x_i,y_i)\}\leq d(x,z)+d(z,y)$.
Corolário: $(R^n,d)$ é um espaço métrico, em que $d:R^nxR^n\rightarrow R$ é a função definida por correspondência $$d((x_1,x_2,...,x_n),(y_1,y_2,...,y_n))=máx\{|x_i-y_i|\}, 1\leq i\leq n$$ com $(x_1,x_2,...,x_n),(y_1,y_2,...,y_n)\in R^n$
i) É obvia, pois se $d(x,y)=máx\{d_i(x_i,y_i)\}$ e como $d_i(x_i,y_i)\geq 0$ para todo $1\leq i\leq n$ logo $d(x,y)\geq 0$.
ii) Se $d(x,y)=máx\{d_i(x_i,y_i)\}=0$ e como $d_i(x_i,y_i)\geq 0$ para todo $1\leq i\leq n$ então $d_i(x_i,y_i)=0$ para todo $1\leq i\leq n$ o que implica que $x_i=y_i$ por $d$ ser uma métrica e portanto $x=y$, lembrando que para duas n-uplas serem equivalentes estas tem que ter todas as suas respectivas coordenadas iguais. Reciprocamente se $x_i=y_i$ então $d(x_i,y_i)=0$ para todo $1\leq i\leq n$ o que implica que $d(x,y)=máx\{d_i(x_i,y_i)\}=0$.
iii) Como $d_i$ são métricas então $d_i(x_i,y_i)=d_i(y_i,x_i)$ então $d(x,y)=d(y,x)$
iv) E finalmente a desigualdade triangular. Sejam $k$ e $h$ dois inteiros pertencentes a $\{1,...,n\}$ com $d_i(x_i,z_i)\leq d_k(x_k,y_k)$ e $d_i(z_i,y_i)\leq d_h(x_h,y_h)$ para todo $1\leq i\leq n$. Temos que $$d_i(x_i,y_i)\leq d_i(x_i,z_i)+d_i(z_i,y_i)\leq d_k(x_k,y_k)+d_h(x_h,y_h)=d(x,z)+d(z,y)$$ para todo $1\leq i\leq n$ então $d(x,y)=máx\{d_i(x_i,y_i)\}\leq d(x,z)+d(z,y)$.
Corolário: $(R^n,d)$ é um espaço métrico, em que $d:R^nxR^n\rightarrow R$ é a função definida por correspondência $$d((x_1,x_2,...,x_n),(y_1,y_2,...,y_n))=máx\{|x_i-y_i|\}, 1\leq i\leq n$$ com $(x_1,x_2,...,x_n),(y_1,y_2,...,y_n)\in R^n$
Referências:
[1] B. Mendelson Introduction to Topology, 1962
[2] T. Gamelin Introduction to Topology, segunda edição[3] J Pejsachowicz, Dispense di complementi di Matematica*
*Meu atual professor de Complementos de Matemática na Politecnica de Torino, onde estou fazendo um intercambio pela Capes com duração de 1 ano.
Nota: perdoe os meus erros Matemáticos. Sou apenas um estudante em desenvolvimento na área, mas qualquer duvida pode postar que eu respondo ao máximo do possível. Muito obrigado a todos que leram.
