Matemática - IF Goiano Campus Urutaí

Intuitivamente, uma métrica é uma forma de medida entre dois elementos de um dado conjunto. Uma função que associa a cada par de elementos de um conjunto dado a um número real chamado de distância entre esses dois pontos. Mas não é qualquer função poderá ser uma métrica, basicamente queremos que essa função satisfaça algumas condições, primeiro é que a função assume somente valores não-negativos para quaisquer par de elementos do conjunto, e está assumirá o valor zero somente quando esses dois elementos se coincidirem. A segunda condição é que o valor assumido seja independente da ordem da medida, ou seja, dados dois elementos x e y no conjunto dado queremos que o valor independa se medimos de x para y ou se medimos de y para x, essa condição é chamada de simetria. E a terceira é que a função distância satisfaça a desigualdade triangular, a qual vem da nossa intuição no plano na qual a medida de um lado de um triângulo não supera a soma das medidas dos outros dois lados.

Espaço Métrico

Definição 1: Uma métrica é uma função

$d:XxX\rightarrow R$ , chamada distância, que satisfaz as seguintes condições:

$d(x,y)\geq0$ para quaisquer

$x,y\in R$

ii)

$d(x,y)=0$ se, e somente se,

$x=y$

iii)

$d(x,y)=d(y,x)$ para quaisquer

$x,y\in R$

iv) (desigualdade triangular)

$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ para quaisquer

$x,y,z\in R$

Definição 2: Um espaço métrico é um par

$(X,d)$ onde

$X$ é um conjunto e

$d$ é uma métrica.

Quando não tiver perigo em causar confusão diremos que

$X$ é um espaço métrico sem explicitar a métrica em

$X$ , caso contrário diremos qual é a métrica.

Exemplos: Existem vários exemplos de espaços métricos, mas sem duvida o mais intuitivo é o espaço euclidiano

$R^{2}$ com a distância

$d:RxR\rightarrow R$ ,

$d(x,y)=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}$ com

$x=(x_1,y_1)$ e

$y=(x_2,y_2)$ , mais geralmente o espaço euclidiano

$R^{n}$ com a métrica

$d:R^{n}xR^{n}\rightarrow R$ ,

$d(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - y_i)^{2}}$ , com

$x=(x_1,...,x_n)$ e

$y=(y_1,...,y_n)$ .

outras funções que satisfazem as condições de métrica é a da soma

$d_{S}:R^{n}xR^{n}\rightarrow R$ ,

$d(x,y)=\sum_{i=1}^{n}|y_i-x_i|$ e a do máximo

$d_{máx}:R^{n}xR^{n}\rightarrow R$ ,

$d(x,y)=máx|y_i-x_i|, 1 \leq i \leq n$ . É sugerido representar essas métricas para

$R^2$ no plano.

Teorema 1: Sejam

$(X_1,d_1),(X_2,d_2),...,(X_n,d_n)$ espaços métricos e seja

$X=\Pi_{i=1}^{n}X_i$ definimos a seguinte métrica para quaisquer

$x=(x_1,...,x_n)$ e

$y=(y_1,...,y_n)$ pertencentes à

$X$ , com

$x_i,y_i\in X$ :

$d:XxX\rightarrow R$ tal que

$d(x,y)=máximo\{d_i(x_i,y_i)\}$ com

$1\leq i \leq n$ . Então

$(X,d)$ é um espaço métrico.

Demonstração: Para demonstrar o teorema devemos verificar as propriedades da definição 1.

i) É obvia, pois se

$d(x,y)=máx\{d_i(x_i,y_i)\}$ e como

$d_i(x_i,y_i)\geq 0$ para todo

$1\leq i\leq n$ logo

$d(x,y)\geq 0$ .
ii) Se

$d(x,y)=máx\{d_i(x_i,y_i)\}=0$ e como

$d_i(x_i,y_i)\geq 0$ para todo

$1\leq i\leq n$ então

$d_i(x_i,y_i)=0$ para todo

$1\leq i\leq n$ o que implica que

$x_i=y_i$ por

$d$ ser uma métrica e portanto

$x=y$ , lembrando que para duas n-uplas serem equivalentes estas tem que ter todas as suas respectivas coordenadas iguais. Reciprocamente se

$x_i=y_i$ então

$d(x_i,y_i)=0$ para todo

$1\leq i\leq n$ o que implica que

$d(x,y)=máx\{d_i(x_i,y_i)\}=0$ .
iii) Como

$d_i$ são métricas então

$d_i(x_i,y_i)=d_i(y_i,x_i)$ então

$d(x,y)=d(y,x)$
iv) E finalmente a desigualdade triangular. Sejam

$k$ e

$h$ dois inteiros pertencentes a

$\{1,...,n\}$ com

$d_i(x_i,z_i)\leq d_k(x_k,y_k)$ e

$d_i(z_i,y_i)\leq d_h(x_h,y_h)$ para todo

$1\leq i\leq n$ . Temos que

$d_i(x_i,y_i)\leq d_i(x_i,z_i)+d_i(z_i,y_i)\leq d_k(x_k,y_k)+d_h(x_h,y_h)=d(x,z)+d(z,y)$ para todo

$1\leq i\leq n$ então

$d(x,y)=máx\{d_i(x_i,y_i)\}\leq d(x,z)+d(z,y)$ .

Corolário:

$(R^n,d)$ é um espaço métrico, em que

$d:R^nxR^n\rightarrow R$ é a função definida por correspondência

$d((x_1,x_2,...,x_n),(y_1,y_2,...,y_n))=máx\{|x_i-y_i|\}, 1\leq i\leq n$ com

$(x_1,x_2,...,x_n),(y_1,y_2,...,y_n)\in R^n$

Referências:

[1] B. Mendelson Introduction to Topology, 1962

[2] T. Gamelin Introduction to Topology, segunda edição
[3] J Pejsachowicz, Dispense di complementi di Matematica*

*Meu atual professor de Complementos de Matemática na Politecnica de Torino, onde estou fazendo um intercambio pela Capes com duração de 1 ano.

Nota: perdoe os meus erros Matemáticos. Sou apenas um estudante em desenvolvimento na área, mas qualquer duvida pode postar que eu respondo ao máximo do possível. Muito obrigado a todos que leram.